알면 도움되는 코딩 테스트 유형: 4) #Combinatorics

조합론(Combinatorics)이란?

 

• 조합론은 원소들의 집합에서 부분집합을 선택하거나 원소들을 순서에 따라 배열하는 등의 연산을 다루는 수학 분야입니다. 이를 통해 가능한 경우의 수, 순열, 조합 등 다양한 문제를 해결할 수 있습니다.
• 조합론에서 자주 사용되는 개념들은 다음과 같습니다.

 

1. 팩토리얼(Factorial): 양의 정수 n에 대해서 n!은 1부터 n까지 모든 양의 정수를 곱한 값입니다.
2. 순열(Permutation): 서로 다른 n개 중에서 r개를 선택하여 나열하는 경우의 수를 계산합니다. (순서가 중요)
3. 조합(Combination): 서로 다른 n개 중에서 r개를 선택하는 경우의 수를 계산합니다. (순서가 중요하지 않음)
4. 이항 계수(Binomial Coefficient): 주어진 크기 n과 k에 대해 이항 계수 C(n, k)는 n개 원소 중 k개 원소를 선택하는 경우의 수입니다.
5. 파스칼 삼각형(Pascal's Triangle): 이항 계수 값을 구성한 삼각형 형태로, 동적 프로그래밍 등 여러 알고리즘에 활용됩니다.

 

조합론 문제 접근 전략

 

• 코딩 테스트에서 조합론 문제는 주어진 제약 사항에 따라 가능한 경우의 수 또는 순열 / 조합을 구하는 것이 일반적입니다.
• 문제를 해결하기 위해서는 다음과 같은 접근 방법을 사용합니다.

 

1. 주어진 문제가 조합론 관련 문제인지 확인합니다.
2. 필요한 경우 입력값에 대한 전처리 과정으로 팩토리얼이나 이전 결과값을 활용하여 필요한 값을 미리 계산하거나 저장할 수 있습니다.
3. 주어진 제약 사항에 맞게 순열/조합 값을 구하거나 가능한 모든 경우의 수를 탐색합니다.

 

11051번: 이항 계수 2

  문제  
 

• 자연수 N과 정수 K가 주어졌을 때 이항 계수 C(n, k)를 10,007로 나눈 나머지를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 
  해결 방법  

 

• 이 문제는 주어진 크기 n과 k에 대해 이항 계수 C(n, k)를 구하는 것입니다. 이는 n개 원소 중에서 k개 원소를 선택하는 경우의 수를 의미합니다.
• 우선, 파스칼 삼각형을 사용하여 동적 프로그래밍으로 해결할 수 있습니다. 파스칼 삼각형의 각 요소는 바로 위 행의 인접한 두 개 요소의 합으로 구성됩니다.

n, k = map(int,input().split())
dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]

for i in range(n+1):
    dp[i][0] = dp[i][i] = 1
    for j in range(1, i):
        dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]) % 10007

print(dp[n][k])

 
 

17471번: 게리맨더링

  문제  

 

• 백준시의 시장 최백준은 지난 몇 년간 게리맨더링을 통해서 자신의 당에게 유리하게 선거구를 획정했다. 견제할 권력이 없어진 최백준은 권력을 매우 부당하게 행사했고, 심지어는 시의 이름도 백준시로 변경했다. 이번 선거에서는 최대한 공평하게 선거구를 획정하려고 한다.
• 백준시는 N개의 구역으로 나누어져 있고, 구역은 1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있다. 구역을 두 개의 선거구로 나눠야 하고, 각 구역은 두 선거구 중 하나에 포함되어야 한다. 선거구는 구역을 적어도 하나 포함해야 하고, 한 선거구에 포함되어 있는 구역은 모두 연결되어 있어야 한다. 구역 A에서 인접한 구역을 통해서 구역 B로 갈 수 있을 때, 두 구역은 연결되어 있다고 한다. 중간에 통하는 인접한 구역은 0개 이상이어야 하고, 모두 같은 선거구에 포함된 구역이어야 한다.
• 아래 그림은 6개의 구역이 있는 것이고, 인접한 구역은 선으로 연결되어 있다.

• 공평하게 선거구를 나누기 위해 두 선거구에 포함된 인구의 차이를 최소로 하려고 한다. 백준시의 정보가 주어졌을 때, 인구 차이의 최솟값을 구해보자.

 

  해결 방법  

 

• 이 문제의 목표는 주어진 지역들을 두 개의 선거구로 나누어 각 선거구의 인구 차이가 최소가 되도록 분할하는 것입니다.
• 이를 위해, choose(n, count) 함수로 가능한 모든 조합을 탐색하는 역할을 하게 합니다. 여기서 n은 선택해야 하는 원소의 수를 나타내며, count는 현재까지 선택한 원소의 수를 나타냅니다. 만약 count가 n과 같아진다면, 하나의 조합을 완성한 것입니다.

import sys; input=sys.stdin.readline
from collections import deque

def bfs(group):
    q = deque([group[0]])
    visited = [False] * (N+1)
    visited[group[0]] = True
    temp = 0
    count = 1

    while q:
        x = q.popleft()
        temp += population[x]
        for nx in graph[x]:
            if nx in group and not visited[nx]:
                visited[nx] = True
                count += 1
                q.append(nx)
    if count == len(group): return temp

def choose(n, count):
    global answer
    if count == n:
        area1, area2 = [], []
        for i in range(1, N+1):
            if visited[i]: area1.append(i)
            else: area2.append(i)
        x, y = bfs(area1), bfs(area2)
        if x and y: answer = min(answer, abs(x-y))
        return
    for i in range(1, N+1):
        if not visited[i]:
            visited[i] = True
            choose(n, count+1)
            visited[i] = False

N = int(input())
population = [0] + list(map(int, input().split()))
graph = [[] for _ in range(N+1)]
answer = float('inf')

for i in range(1, N+1):
    temp = deque(map(int, input().split()))
    temp.popleft()
    graph[i] = list(temp)

for i in range(1, N//2+1):
    visited = [False] * (N+1)
    choose(i, 0)

print(-1 if answer == float('inf') else answer)

 

• 위에서 다룬 두 가지 예시로부터 알 수 있듯이, 코딩 테스트에서 조합론 관련 문제를 해결하기 위해서는 주어진 제약 사항에 맞추어 가능한 경우의 수를 생성하고 필요한 값을 계산하는 방식으로 접근합니다. 또한 동적 프로그래밍, 그래프 탐색 등 다른 알고리즘 기법들과 함께 응용될 수도 있습니다.